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北京工业大学2006-2007学年第一学期《离散数学》试卷及答案
(10分)设U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A={1, 4, 5, 8},B={2, 3},C={1, 7},计算
1) 2) 3) 4) 5)
={2,3,,6,7}(2分)
={6,7}(2分)
={1,2,3,4,5,6,7,8}(2分)
={1,2,3,4,5,8}(2分)
={1,2,3,4,5,6,7,8}(2分)
(10分)R是A上的自反关系,且当(a,b)∈R和(a,c)∈R时,必有(b,c)∈R,证明R是等价关系。
证明:证R是对称的:
当(a,b)∈R时,因为R是自反的,所以,(a,a)∈R。由已知条件,必有(b,a)∈R。所以R是对称的。(5分)
证R是传递的:
当(a,b)∈R,(b,c)∈R时,因为R是对称的,所以(b,a)∈R,由已知条件:(b,a)∈R,(b,c)∈R有(a,c)∈R。所以R是传递的。
综上,R是等价关系。(5分)
(10分)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,15,18,24},R是A上的整除关系,画出R的哈斯图。
(10分)一个/轮盘赌转盘的圆周分为36段,将1、2、3、…36,任意标在每一段上,使每一段仅有一个数字。证明一定存在连续的三段,它们的数字之和至少是56。(注意:第一二三段为连续三段、第二三四段也为连续三段,以此类推)
证:圆盘上共有36个连续三段,它们的数字总和为(1+2+…+36)*3=36*55.5>36*55
由鸽巢原理,至少存在1个连续三段,其数字和至少为56。
(10分)判断下列各图中是否有欧拉回路、或者有欧拉通路但是没有欧拉回路、或者 两者都没有。
两者都没有。 有欧拉回路。 有欧拉通路,但没有欧拉回路。 两者都没有。
(2.5分) (2.5分) (2.5分) (2.5分)
(10分)在下图中,求最短的(a, z)通路及其长度。
最短通路为a->b->c->d->g->f->z. (9分)
通路长度为13。(1分)
(10分)设叶片权为1、2、3、4、5、6、10,请画出最优树,并求此树的权。